科技生活| 帽子戲法:新形狀解決60年數學之謎

一種新的形狀已經被發現,它將可以成為一套相當獨特的浴室瓷磚。綽號為「帽子」的13邊形可以自行拼砌在一起,而不重複一個圖案,解決了一個60年的數學之謎。

這個非常小眾的里程碑是由來自英國約克郡自稱是瓷磚愛好者的David Smith實現的。與社會上其他許多人一樣,David Smith一直在尋找一種特殊的形狀,稱為「非周期性單瓦片」(aperiodic monotile)或「愛因斯坦」(einstein)。這個名字與著名的物理學家無關,而是對德語單詞ein(意思是「一」)和stein(意思是「石頭」)的一種戲謔。

「一塊石頭」是一個以前的假設形狀,它可以在一個平面上鋪設,沒有任何重疊或空隙,即使它被延伸到一個無限的空間,也不會重複相同的模式,而且從物理上來說,也不能使之重複。David Smith的「帽子」是第一個被發現符合這一要求的形狀。

對許多人來說,這可能聽起來不是什麼大事,但數學家們自1960年代中期以來一直在尋找具有這些特性的拼圖。那時候發現了第一組表現出非周期性(非重複性)瓷磚的形狀,但是這個工具箱需要超過20000種不同的形狀來確保圖案不會重複。在接下來的十年,不斷的努使這個數字越來越小,直到Roger Penrose爵士把它精確到只有兩個,形成了現在被稱為Penrose瓦片的排列。

Penrose解決方案中的這兩個形狀有足夠的結構,它們禁止了周期性,」描述新形狀的研究的研究員Craig Kaplan教授說,「但是近50年來,數學家們一直在想,我們能不能只得到一個形狀?我們能不能用一個單瓦片來做這個?這就是我們解決的問題。我們找到了一個單一的形狀,它能做到所有這些早期的多組形狀所能做到的事情。」

David Smith原來一直在用剪紙的形狀做實驗,但你只能用有限的平面來測試。為了證實「帽子」的特殊能力,他與Craig Kaplan取得了聯繫,後者最近開發了一個軟件,可以在更大的範圍內檢查一個特定的形狀。例如,它可以識別出該形狀的所有不同的排列方式,使之成為小的分組或「鄰域」,然後計算出這些分組是否可以在不違反規則的情況下存在於一個更大的瓷磚中。

「帽子」可能也不是唯一可能的非周期性單瓦片。該團隊說,從技術上講,它是一個非常相似的形狀家族的一部分,只是稍作調整,仍然遵循相同的規則。

Craig Kaplan說:「更有趣的問題是,是否存在根本上不同的非周期性單瓦片?」

圖片:University of Waterloo

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